每位玩家都应知道的最令人瞠目结舌的统计数据
理解概率
从随身携带雨伞到投注，我们每天都在根据自己对于概率的理解作出各种决定。然而，我们与生俱来的直觉经常成功地将我们引入歧途，而此时统计数据将是我们最值得信赖的盟友，能帮助我们重回真理之路。
警告：本文中分析的心理陷阱非常反直觉，甚至连最有思辨精神的统计学家都感到震惊。不过在我们继续谈论理论之前，不妨先检验一下我们天生的直觉。
两位实力相当的斯诺克选手打比赛。你认为比赛中的领先地位会在二者之间交换多少次？你觉得他们打的局数越多，领先地位交换的次数就越多还是越少？
既然我们假定他们的实力相当，就可以使用最著名的随机化测试（即掷硬币，其中一位选手为硬币正面，另一位为硬币反面），来观察领先地位如何在二者之间交换。落后的选手需要先追平比分，领先地位才可能改变。那么，让我们先看看获得均等结果的机会有多大。
- [什么是回撤？如何管理回撤？]
如果我们掷六次硬币，那么在直觉上我们明白连续六次结果为正面的可能性很低。掷六次硬币会生成64种可能的组合。六次结果都一样（无论全是正面还是反面）的概率为2/64——约为3%（1 x ½ x ½ x ½ x ½ x ½）。
我们还明白，尽管每种结果的机会都是50%，但这并不代表在掷六次硬币这么小的样本中，我们一定会掷出三次正面三次反面。
掷六次硬币得到三次正面三次反面的实际概率为20/64（约31%）——大约为三分之一。那这是否意味着，如果我们将这个连续掷六次硬币的实验重复三次，其中就一定有一次的结果是三次正面三次反面呢？答案同样为不一定。
计算均等概率
对于不同的掷硬币次数序列，正面（H）和反面（T）次数相同的几率是多少？无论是在哪个阶段，都是要么正面多，要么反面多，或者正反面次数相同。在任何序列中，掷硬币的次数必须为双数，才可能获得次数相同的正反面结果。
随着掷硬币次数的增加（2、4、6、8……），我们很可能会认为正反面次数相同的几率也会变大。这是对[平均法则]的直觉应用。在这个法则中，人们普遍认为，随着样本规模的增加，结果会越来越接近总体的平均值。简单来说，这就是为什么在下了一周雨后，我们很可能会认为接下来会是晴天。
不过从统计学的观点来看，这不仅是错的，还错得离谱。
在《Taking Chances》一书中，John Haigh探究了在一个独立掷硬币序列中，在任何一点上正反面次数相同的概率。
掷硬币的概率
正面（H）和反面（T）次数相同的概率
掷硬币的次数 2 4 6 8 10
相同的几率 1/2 3/8 5/16 35/128 63/256
概率 50% 37.5% 31.25% 27.34% 24.6%
这些数字中呈现的模式非常反直觉，甚至连最精通数学的人都得看两遍才能相信。根据这些数据，随着掷硬币次数的增加，正反面次数相同的概率实际上降低了。
如果我们掷20次硬币，那么在掷哪一次硬币时，正反面次数在这个序列中最后一次相同？有可能是第2次、第4次、第6次……第16次、第18次或第20次中的任何一次。看着这11个可能的答案，你会选择哪个？最近的那一次？最远的那一次？还是中间的那一次？
很多人会选靠近中间位置的答案，但美国统计学教授David Blackwell发现概率大约从正中间开始完全对称。掷第16次硬币和掷第4次硬币时正反面次数最后一次相同的几率是一样的，第0次和第20次时的几率最高，概率会朝着正中间逐渐递减。
正反面次数最后一次相同的几率
掷20次硬币的序列中，不同时间上正反面次数最后一次相同的几率
正反面次数最后一次相同的时间 0或20 2或18 4或16 6或14 8或12 10
概率 17.62% 9.27% 7.36% 6.55% 6.17% 6.06%
换言之，如果早期没有发生均等的现象，之后可能要等很长时间才会发生。
双方交换领先地位的频率有多高？
对于领先地位的交换频率，我们能从上文中获知什么？下表中是掷101次硬币的序列中正反面领先地位交换次数的概率。
领先地位交换概率
| 领先地位交换次数 | 概率 |
|---|---|
| 0 | 15.8% |
| 1 | 15.2% |
| 2 | 14% |
| 3 | 12.5% |
| 4 | 10.7% |
| 5 | 8.8% |
| 6 | 6.9% |
| 7 | 5.2% |
| 8 | 3.8% |
| 9 | 2.7% |
| 10 | 1.8% |
| 11 | 2.6% |
领先地位交换不超过四次的概率为68%。交换五至九次的概率大约为27%，十次或十次以上的概率仅为4%至5%。
更有趣的是，在序列的下半部分中有一半的时间都未出现均等分数，这意味着，无论哪一面在中点前保持领先，这一面在实验接下来的一半时间中都将继续保持领先。
在体育博彩中运用掷硬币的智慧
现在，希望你已经清楚地看到了它在博彩中的价值。从硬币实验中，我们了解到如果实力相当的选手打比赛，那么通常很长时间都不会发生均等现象，然后可能会接连发生数个均等现象。均等更有可能在比赛开始时或结束时发生，而不是在比赛中点附近出现。
根据Haigh的计算，在实力相当的斯诺克选手之间的比赛中，在16局后领先的选手有50%的几率会一直保持领先，直到32局后。我们能不能进一步在足球博彩中运用相同的逻辑呢？一个联赛中有很多支实力不同的球队；因此，我们必须进行深入的调查研究，才能确认规则是否适用。
当然，不是所有结果都和掷硬币一样清楚明了，因为要考虑很多情况因素，比如[损失规避]比起目标是赢得比赛时，我们在避免失败时会表现得更好。掷硬币是理论实验，但却为体育博彩玩家提供了极其相关的模式。